La grande baruffa: Lebniz vs. Newton

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L’articolo per state leggere, signori miei, non è dei più leggeri. Si parlerà di matematica, per di più di matematica senza numeri!

È un articolo da veri arditi: non solo sarà difficile leggerlo, ma farà anche crollare alcune delle convinzioni imparate a scuola e sui libri.

Tuttavia vi invito, se non a leggerlo, a darci un occhio, perché in esso si dirà qualcosa sulla grande disputa tra Leibniz e Newton riguardo alla priorità dell’invenzione dell’analisi infinitesimale.

A tal proposito spesso ci dicono cose non proprio giuste:

Leibniz ha avuto solo il merito di una notazione migliore

Leibniz è il filosofo, Newton lo scienziato

Newton l’ha scoperta prima, ma Leibniz l’ha saputa vendere meglio

L’hanno scoperta loro, indipendentemente l’uno dall’altro, e il merito va a entrambi e a loro soltanto

 

Tutto sbagliato.

Cominciamo da quest’ultima: il merito non è tutto loro, infatti, senza Cartesio non si sarebbe combinato un bel nulla.

È solo grazie alla Géométrie di Cartesio che si sono sviluppate le idee che hanno portato all’invenzione del calcolo. Egli ha rivoluzionato la geometria introducendo una nuova nozione di curva: una curva è il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano un’equazione P(x, y) = 0, nella quale P(x, y) è un arbitrario polinomio.

Niente paura! Ciò che conta qui è soltanto che all’improvviso, nel ‘600, è comparso sulla scena un modo nuovo di intendere le curve.

Cartesio usa questa nuova formulazione per cercare di risolvere il problema delle tangenti. Non era certo un problema nuovo, ma nella geometria cartesiana assume una nuova forma: non si tratta più di tracciare la tangente a questa o quella curva (al cerchio, per esempio), ma di trovare un metodo generale che consenta di tracciare la tangente di una curva arbitraria.

Anche Fermat ci ha messo del suo: propone un altro metodo basato sulla teoria dei massimi e minimi. Ciò che Fermat compie di straordinario è l’introduzione di E, un valore arbitrariamente piccolo.

 

Entrambi, però, propongono un metodo complesso e non perfetto: quello di Cartesio non include le curve trascendenti e entrambi non riescono a trattare funzioni che contengono un gran numero di radici.

Ad essere sbagliato è proprio l’approccio: per descrivere la retta tangente usano come parametro la sottotangente. Uno stratagemma derivato dal buon senso geometrico, ma che, dal punto di vista analitico, è destinato a fallire: infatti quando l’ordinata di una curva si scrive come somma di due o più curve, non c’è una relazione semplice tra le sottotangenti di queste curve e quella della curva di partenza!

 

Cosa ha fatto Leibniz? Solo un’elegante notazione?

Assolutamente no. Il lavoro di Leibniz è stato concettuale.
Egli ha introdotto l’operazione di differenziazione e in essa le quantità infinitesime.

Per intenderci, se Fermat, nel suo metodo, inserisce le quantità infinitesime e poi TAAC, con una semplificazione le fa sparire; Leibniz, invece, ha il coraggio di mantenere le quantità infinitesime fino alla fine, di mostrarne il carattere fondamentale.

Non è una sciocchezza: al tempo era una rivoluzione. Tanto che, se oggi lo diamo per scontato, allora Leibniz ha cercato di nasconderlo, di limitarlo, di farlo passare inosservato.

Di fronte ai grandi cambiamenti, un po’ di paura c’è sempre.

Veniamo alla notazione. Come abbiamo visto, a Leibniz non dobbiamo solo quella (e, naturalmente, l’elenco di meriti dell’autore non si riduce affatto a quanto detto sopra), ma spesso a scuola si fa passare questo concetto. Due sono i punti fondamentali.

  • I matematici erano abituati a una vita dura: ogni radice quadrata, ogni dimostrazione, insomma, ogni cosa che noi adesso chiediamo di fare alla calcolatrice richiedeva allora fogli su fogli di calcoli. Ci si passavano delle ore.

Quando dal continente giunse la nuova notazione non fu subito usata da tutti. I matematici inglesi conservarono le loro abitudini per un bel po’.

  • I matematici inglesi non si occupavano tutti i giorni di queste questioni (vedremo poi che se ne occupavano di rado proprio a causa di Newton).

E se qualcosa non serve, non la si usa. [Pensate alla parola “petaloso”, adesso sappiamo che si può dire, ma mica la usiamo ogni tre per due.]

In conclusione, l’opinione positiva che abbiamo della notazione leibniziana è perlopiù retrospettiva nella misura in cui, anche se la superiorità di essa era al tempo riconosciuta, non era particolarmente presa in considerazione.

 

E il povero Newton?

Egli è considerato uno dei più grandi scienziati di tutti tempi, e definirlo “povero” forse non è molto adeguato. Ma scienziato è forse troppo poco.

Partiamo dall’inizio: Newton affronta gli stessi problemi di Leibniz, ma all’interno di una concezione meccanica della geometria. Egli considera le variabili come grandezze il cui valore aumenta o diminuisce con continuità:

“le linee si descrivono […] tramite il moto continuo dei punti, le superfici col moto delle linee, i solidi col moto delle superfici, gli angoli per rotazione dei lati, i tempi mediamente un flusso continuo, e così via. Queste genesi hanno luogo nelle cose naturali, e si vedono ogni giorno nel moto dei corpi.” – De quadratura curvarum

Già solo questa citazione mostra una sorta di concezione della natura tutta newtoniana, già questo rende Newton un “piccolo” filosofo, ma c’è di più.

In conseguenza a questa prospettiva, i problemi geometrici vengono riformulati in termini meccanici e quindi termini finiti, mentre, “l’infinito” viene relegato al campo delle serie geometriche, perno del metodo newtoniano.

Se il calcolo di Leibniz richiede una vera e propria rivoluzione epistemologica con l’introduzione di quantità evanescenti; Newton resta invece nell’ambito delle quantità finite: le velocità.

Newton ha mostrato di possedere la più straordinaria delle doti filosofiche (una dote quasi poetica!) quella di saper vedere in un concetto familiare come la velocità, un concetto divenuto oramai banale, un senso inedito. Newton ha saputo guardare molto lontano e molto vicino, si è rivelato un genuino filosofo.

 

E ora arriva la conclusione, sia dell’articolo, sia della controversia tra Leibniz e Newton. Ci è rimasta un’ultima questione: Newton ha scoperto l’analisi infinitesimale, ma Leibniz ha saputo farsi valere nella comunità scientifica e spuntarla meglio.

Non è proprio così. Innanzitutto, sì, Newton è stato il primo, ma Leibniz ci è arrivato indipendentemente. Niente plagio.

Secondariamente non è stata la furbizia di Leibniz a far prevalere il suo approccio, ma la storia della disciplina matematica stessa.

Due sono i punti fondamentali.

Primo: in ambiente inglese i geometri hanno subito accolto le novità newtoniane. Tutti contenti di potersi risparmiare qualche operazione hanno subito usato il metodo delle serie di Newton, ma il metodo newtoniano era l’equivalente odierno di una calcolatrice nelle mani di uno studente. Newton naturalmente s’era raccomandato: “Ragazzi, non si studia con la calcolatrice, altrimenti a letto senza cena!” Ma non c’è stato niente da fare. Conseguenza? Gli aspetti più fondamentali del calcolo sono stati lasciati da parte, poiché la soluzione newtoniana soddisfaceva ai bisogni del lavoro quotidiano.
Al contrario, sul continente, Leibniz aveva lasciato dei problemi irrisolti e quindi tutti s’erano messi a cercare soluzioni e ne hanno trovate, anche tante, facendo mangiare la polvere ai colleghi inglesi.

E poi c’è il secondo punto, quello conclusivo, quello con la morale.

La storia vince su tutto. E Newton era nel torto ad accordare tanta importanza allo sviluppo delle serie numeriche, invece Leibniz sapeva che la teoria newtoniana andava divisa, che le serie numeriche andavano messe da parte.

Forse non è nemmeno la storia che vince su tutto, è la matematica.

La matematica vuole ciò che vuole.

A.B.

 

Per verificare e approfondire
Giusti, Il calcolo infinitesimale tra Leibniz e Newton, AMS (MOS, 1980), scaricabile gratuitamente online

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Pubblicato da

il Leibniz

Contattateci liberamente! ilLeibniz.redazione@gmail.com

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